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■日出没計算と、太陽の方位・高度・・・その2
 昨日の説明の続き。本日は計算実例つきです。電卓片手に式を追ってみて下
 さい。

 さて昨日 10/30の東京(緯度 35.63度、東経139.62度)での日の出はこのメ
 ールマガジンの計算によれば06時01分ですので、果たしてこのとおりになる
 か試してみることにします。

 計算に必要な5つの数値を拾い出してみれば
  1. 東京の経緯度 (φ=35.63度 , λ=139.62度)
  2. 日本時10/30 06時01分の東京での地方恒星時 (SG=8.86時→132.90度)
  3. 日本時10/30 06時01分の太陽の視赤道座標 (α=214.05度,β=-13.62度)

 となります。この値があればあとは単純に球面三角形の公式に放り込んでや
 れば済みます。球面三角形の余弦定理の式を使えば太陽中心の地平高度を E
 とすると次のような関係式が出来上がります。

  cos(90-E) = cos(90-φ)*cos(90-β)+sin(90-φ)*sin(90-β)*cos(α-SG)
 
 式を整理して数値を代入すると

  sin(E) = sin(φ)*sin(β)+cos(φ)*cos(β)*cos(SG-α)
  sin(E) = sin(35.63)*sin(-13.62)
       +cos(35.63)*cos(-13.62)*cos(214.05-132.90)
  sin(E) = -0.0156
    E  = arcsin(-0.0156) = -0.89度

 計算例の数値が長くならないようにそれぞれの数値を小数点2位程度にとど
 めたため結果は -0.899ではなく -0.89度と0.01度の差を生みましたが、式
 に誤りが無いことは確認出来たと思います。

 上記の通り無事に太陽中心の地平高度が出たところで、あとは太陽中心の方
 位角ですが、これは上記の式の結果があればこれまた球面三角形の正弦定理
 を使って簡単に求めることが出来ます。方位角を Aとして正弦定理の式に当
 てはめると

  sin(90-β)/sin(A) = sin(90-E)/sin(α-SG)

 となります。式を Aについて整理すれば

  sin(A) = cos(β)*sin(SG-α)/cos(E)
  sin(A) = cos(-13.62)*sin(214.05-132.90)/cos(-0.89) = 0.9604
     A  = arcsin(0.9604) = 73.82度 (or 106.18度)

 今回は、太陽の赤緯がマイナス(β=-13.62)であるから、A は90度より大
 きな値となることから、答えは106.18度となる。

 以上二つの計算から10/30 06時01分 の東京における太陽中心の位置は、

  方位角 106.18度 高度角 -0.89度

 と求めることが出来ました。今回は既に求めた日の出の時間からそのときの
 太陽の地平座標を求めましたが、日出没計算は上記の計算を時間を変えて何
 度も行うことで、日出没の定義である太陽の中心の高度角が-0.899度(こよ
 みのページで用いている数値)となる時刻を求めれば良いだけです。

 なお、観測地点の緯度経度は地図から読み取るとして、任意の時間の太陽の
 視赤道座標(α,β)と地方視恒星時(SG)については、天体暦や理科年表
 等に記載がありますので、その数値を補完して使えば良いです。ちなみにこ
 よみのページではこの数値はプログラムの内部で計算してその値を使ってい
 ます(毎回理科年表を開いて・・・と言うわけにはいかないので)。

 最後に重要な関係式をもう一度書けば、

  高度角:sin(E) = sin(φ)*sin(β)+cos(φ)*cos(β)*cos(α-SG)
  方位角:sin(A) = cos(β)*sin(SG-α)/cos(E)

 です。これで結果的には御質問の(1),(2) に答えたことになりますね?
 本日は学生時代に数学の教科書を開いた時代に戻ったつもりの、こぼれ話で
 した。ではまた次回をお楽しみに。


  (『暦のこぼれ話』に取り上げて欲しい話があれば、
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オリジナル記事:日刊☆こよみのページ 2006/10/31 号

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